Voltar para a página principalA mola é caracterizada pela constante da mola D, a massa m e a constante de atenuação G.
(G é uma medida de atrito, adotada como proporcional à velocidade).
O topo da mola se move de cima para baixo de acordo com a fórmula:
yE = AE cos (wt).
O yE da fórmula significa a elongação do estímulo comparada com a posição central; AE é a amplitude da oscilação, w significa a frequência angular correspondente e t é o tempo.
Está é uma questão de encontrar a medida de elongação y (comparada com sua posição inicial) num dato tempo t. Usando w0 = (D/m)1/2 este problema é descrito pela seguinte equação diferencial:
|
y''(t) = w02
(AE cos (wt) – y(t))
– G y'(t) Condições iniciais: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
Se você quer resolver estas equações diferenciais, terá que distinguir entre os vários casos:
| Caso 1: G < 2 w0 |
| Caso 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 or w ¹ w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e-Gt/2
[A1 sin (w1t)
+ B1 cos (w1t)]
w1 =
(w02
- G2/4)1/2
Aabs = AE
w02
G w
/ [(w02
- w2)2
+ G2 w2]
Ael = AE
w02
(w02
- w2)
/ [(w02
- w2)2
+ G2 w2]
A1 = - (Aabs w
+ (G/2) Ael)
/ w1
B1 = - Ael
| Caso 1.2: G < 2 w0; G = 0 and w = w0 |
y(t) = (AE w t / 2) sin (wt)
| Caso 2: G = 2 w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e-Gt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
w02
G w
/ (w02
+ w2)2
Ael = AE
w02
(w02
- w2)
/ (w02
+ w2)2
A1 = - (Aabs w
+ (G/2) Ael)
B1 = - Ael
| Caso 3: G > 2 w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e-Gt/2
[A1 sinh (w1t)
+ B1 cosh (w1t)]
w1 =
(G2/4
- w02)1/2
Aabs = AE
w02
G w
/ [(w02
- w2)2
+ G2 w2]
Ael = AE
w02
(w02
- w2)
/ [(w02
- w2)2
+ G2 w2]
A1 = - (Aabs w
+ (G/2) Ael)
/ w1
B1 = - Ael
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14br/resmath_br.htm
© Walter Fendt, 1998-09-09
© Traduzido por: Antonio F. de Moraes Filho, Miriam G. de Castro e Juliana M. Marques Giordano - CEPA
Última modificação: 2003-01-20